数学には, 大きく分けて 3 種類ある。それは,
[1] 生きていく上で必要とされる知識としての数学
[2] 受験数学
[3] 趣味・興味としての数学
である。
[1] は, やさしいものであれば, 算数の計算などがあてはまる。また, 文科省のカリキュラムもこの姿勢で作成されているのではないかと考えられるから, 高校の現場で文科省検定に沿った数学を教えることは, [1] のもとでの活動である。したがって, 本来は高校数学の原点は大学受験などに振り回されるのではなく必要とされるものをしっかりと習得すればよいのであって, 時間制限のもとあせって解く必要のないものなのかもしれない。
[2] は受験特有の数学を指す。これは, この国がこれまで築き上げた「文化」の一つである。受験数学の特徴の一つは, 問題を解く上で厳しい「時間制限」があることである。したがって, ゆっくり考えて答を出すのではなく短時間で正解に達するような手法が必要とされることもある。例えば, 2 次方程式 ax^2+2b’x+c=0 を解くとき, 解を判別するときに D (判別式) ではなく, D/4 を用いることもあるが, 受験数学の立場からすればそれは必要とされる知識である。よく、「D を知っていれば D/4 はいらない」という人もいるが, そのような人にはもちろん数学が苦手な高校生に関わっている立場から(負担が少なくなるように)言っている人もいるものの, 多くは「時間制限のない世界」にどっぷりと浸かっている人達だったりする。また、「受験数学」を教える中には, 数学が苦手な生徒に対してもわからせる工夫(場合によっては点を取らせる工夫)もある。もちろんこれは内容によっては賛否が分かれたりもする。
[3] は, 「数学マニア」とか数学の「研究者」などが関わる数学である。数学の美しさに感銘したり, 自然界の中に含まれる数学的なしくみを解明するなどがある。それを実生活へ応用することを考える人もいれば, 実生活とは無関係に単に興味として研究する人もいる。

野球, テニスなどには軟式・硬式があるが, このどちらが「正統」かということを主張し合っても仕方のないことではないか。また, スケートの中にもスピードスケートやフィギュアなどがあり, このどちらが「正統」なスケートかと言ったところで意味がないのではないか。また, 音楽においてもクラシックやジャズ, 歌謡曲等様々であるが, これを好みの議論はもちろん構わないにしてもどちらが「正統」を言ってもむなしいだけではないか。これを, 一方の立場の人が, 自分のやっていることが正統であり, 他は邪道であるなどというと, 生産性のないつまらない言い合いになってしまう。

数学についても同様であるが, 数学に関わる人は私は上にあげた世界よりも視野が狭い人が多いような気がする。例えば, [3]の世界の人には[2]の世界を知らずに上から目線で頓珍漢なコメントを残すことも多い。[3]の人は, 普段は「厳しい」時間制限に追われない生活をしているため, 「公式は導いてから使うようにすればよいのだから, そうたくさん覚える必要がない」という発言をする人もいる。しかし, [2]の世界では, そればかりだと時間内に目的が達成できずに終わらなくなることも多々ある。そして, [2]の世界を作り出したのは, 大学入試であり, [3] の世界の人であることも忘れてはならない。

以前, 中学入試で次のような「法則?」を聞いた。

正方形のまわりを半径 r の円が正方形に接しながら一周する。このとき, 円の通過部分の面積を S とする。
円の中心が動いた部分の長さを L とおくと, このとき,
S = 2Lr
が成り立つ。

これは, 中学入試では「センターラインの法則」などと言うのだそうが, 中学, 高校の数学の先生からすれば「『普通』に計算すればよいではないか」ということになるかもしれない。これも, 数学の点がとれない人に点を取らせるためにできたもので一つの「文化」ではあると思う。

[2] の世界の人が[3]の世界の人を小馬鹿にしていることもよくある。例えば, [3]の世界の人の中には自分達で大学入試問題を作っておきながら, [2]の人から見れば解くのが大変遅いからである。

これ以外の例も多々あるのであるが, 数学の世界においてもどの数学が最も必要なのかとか「正統」なのかを議論することを好む人も多い。もちろん, 議論自体は止めはしないが, その中には自分の立場しか知らない視野の狭い発言が多いので, その点が残念ではある。
そして, 数学に関わる人全員が[1],[2],[3] に精通している必要はないとは思うが, 一つの高校, 予備校などの数学の教員の集団くらいになれば, その中に一人, 二人は全体にある程度理解のある人はいた方がよいとは思う。

以上の件は, 今後引き続き述べていき, 今年度夏の駿台教育研究セミナーでもより具体的にとりあげる予定である。

あけましておめでとうございます。本年もよろしくお願いいたします。

受験生の方には、あと少しの間頑張ってよい結果が出るよう応援しております。

また、本年は高校数学においては新課程が開始され、数学教育の変化が少しずつ始まる年でもあります。数学教育がどこに向かっているのかを注視しながら多くの人の役に立つよう、自分のできることに励もうと思っております。
引き続きよろしくお願いいたします。

　毎年, この時期あたりから予備校・塾の次年度の生徒募集が開始され, 3 月ころまで徐々に過熱して行く。この生徒募集の宣伝において欠かせないのが「合格実績」だ。この合格実績によって生徒はもとより生徒の父兄は予備校・塾の力を計ることになる。
　特に, 東大合格実績は優秀な生徒を集めたい予備校・塾にとっては重要な宣伝の構成要素である。ところが, この合格実績には明確な基準はない。そもそも基準などは作っても意味があるのだろうかなどの議論もあるくらいだ。しかし, そうであっても現段階では合格実績を発表するところによってその基準が大きく違いすぎると, 現状を知る人ならば誰もが感じることだろう。実際, 「高 3 の 1 年間通して在籍して東大に合格した生徒だけを東大合格実績としてカウントする」塾もあれば, 「中学 1 年のときに在籍しただけ」でカウントしたり, 「自習室を使っただけ」で合格実績にカウントするところもある。これを知れば, 塾を選ぶ高校生, そしてその父兄からすればなんともいい加減な業界と思えることは間違いない。

　しかしながら, このいい加減に見える合格実績について私は次のように考えることにしている。

　国立大学が大学入学試験の受験者への成績開示が行われるようになって数年が経過した。中でも東大は科目ごとに開示しているという細やかさである。以前から指摘されてきたことであるが, 成績開示によってより一層実感するのは合格点周辺での受験者の多さである。特に, 東大の場合は傾斜配点のため小数第 4 位までの表示になっており, そのため小数点以下の差(1 点未満の差)というものが発生し, 小数点以下の違いで合格する人と涙を飲む人を毎年何人も目にしている。ここで東大に合格点より 1 点未満上の得点で合格した P 君の場合を紹介しよう。

　P 君は東大合格のため主に A 塾に通い, B 塾には講習だけ通った。そして, C 塾の自習室を週に 1 回使い, D 塾の無料の体験授業を 1 時間受けた。これでぎりぎり合格したのだが, P 君の場合 A 塾はもちろん, B, C, D 塾のどの一つが欠けていても合格しなかった可能性がある。1 時間しか受けなかった D 塾であっても, もしもその 1 時間がなければ合格点達しなかったかもしれない。したがって, D 塾も合格に貢献したのだからということで合格実績にカウントしようということになる。
　このように, 合格者一人につき合格に多少なりとも貢献した塾がいくつも存在することがあるので, 「合格実績」という言葉が本来理解される意味とは異なって使われているのではないだろうか。このようなことなので, 「合格実績」という言葉の中には, どのくらい合格に貢献したのかがあいまいであるため, ちょっとでも合格に貢献したと思える場合は合格実績としてカウントしていると受け止める方がよいだろう。もちろん予備校・塾からすれば, 決して嘘をついているのではないというスタンスである。
そういう意味では, 受験生の父兄も「合格実績」を主張してもよい。

　さて, これまで比較的寛容に「合格実績」を解釈した。ところが, 最近は次のような例もある。今年, 東大理科三類に合格した Q 君の場合である。 東大合格発表の日に本郷キャンパスで自分の受験番号を見つけ喜んでいたところ, どこかの塾から声をかけられ謝礼を払うから合格体験記を書いてくれと頼まれたという。もちろん, その塾に在籍したことにしてその塾を賛辞する体験記である。実は, このようなことは, 偶然この Q 君だけに起った珍しい例というわけではなく, 最近では増えている手法である。
　私は, さすがに合格発表があってからの「合格実績づくり」は反則だと思う。
しかし, それ以上に, 謝礼に釣られてデータの捏造に協力する高校生達に将来の不安を感じる。このような人達が, 将来医者になったり官僚になったりするのだ。私のまわりのベテランの先生には, 「東大に入れるべきではない人を東大に入れてしまった」と嘆く人もいる。
　来年の東大合格者には, 1万円程度のお金に釣られることで, それよりも大切なものを失わないでほしいと思う。

　来年度から高校数学は新課程の内容が教えられる。今、高校の現場や塾, 予備校ではその有効な対応が求められている。
　私も 12 月 18 日に新課程を題材に教員用のセミナーを行った。高校の先生達の関心は非常に高く、12 月 23 日に実施される同じ講座は満員になっていると聞く。

　まず、この後のテーマに触れる前に簡単に新課程の説明をしておこう。
新課程は、数学 I (3), 数学 II (4), 数学 III (5), 数学 A (2), 数学 B (2) からなる。( ) 内は標準単位数である。新課程から数学 C が消え、一部、数学 III に統合された。新課程で学習する具体的な内容を紹介すると、

　　数学 I　:「数と式」「図形と計量」「二次関数」「データの分析」
　　数学 II 　: 「いろいろな式」「図形と方程式」「指数関数・対数関数」「三角関数」「微分・積分の考え」
　　数学 III : 「平面上の曲線と複素数平面」「極限」「微分法」「積分法」
　　数学 A　:「場合の数と確率」「整数の性質」「図形の性質」
　　数学 B　:「確率分布と統計的な推測」「数列」「ベクトル」

である。今回から「データの分析」が数学 I に配置されたが, この意味は大きい。現行課程においても統計分野の内容は数学 B, 数学 C で扱われているが、数学 B, 数学 C はその中にある 4 項目から選択されるものであるから, 教科書にはあるが, 学習される機会はほとんどなかった。例えば、現行課程の数学 B は

　　「数列」「ベクトル」「統計とコンピュータ」「数値計算とコンピュータ」

の 4 項目から 2 項目を選んで学習するのだが、ほとんどの学校は「数列」と「ベクトル」を選択して「統計」は学習しないのが現実である。したがって、「統計」はこれまでは「避けて通れる」分野であったのだが、新課程では数学 I に配置されることから「必修分野」になった。
　なお、一部の団体が、統計分野が扱われることを「新課程の目玉」とか「必修分野なのだから」と強調し、統計分野だけのために対策講座を開いて、いかにもこれからの大学入試の中心になりうるとばかり宣伝しているところもあるが, それは私に言わせれば大げさである。

　それでは本題に入ろう。

　平成 23 年 11 月に東京大学から平成 27 年に実施される新課程の第 1 回目の入試科目に関する案内があった。
それはこちらにある。

http://www.u-tokyo.ac.jp/stu03/pdf/H27syutudai.pdf
(京都大学はこちら http://www.kyoto-u.ac.jp/ja/news_data/h/h1/news1/2011/111208_1.htm)

この中のどこに注目してもらいたいかと言うと、それは数学 A に関する記述である。
　文科省が考える数学 A は
「場合の数と確率」「整数の性質」「図形の性質」
の 3 項目から 2 項目を「選択」し 2 単位(週 2 時間の授業)とするものである。どの 2 項目をとるかは学校に任されており、「場合の数と確率」と「整数の性質」を選択するのもよいし、「場合の数と確率」と「図形の性質」を選択するのもよい。
　しかしながら、今回の東大の発表は、この 3 項目をすべて出題範囲とするというものである。つまり、高校の現場では、通常はこの 3 項目すべてを教えることは、時間などの制約によってできないのだが、国立大学である東大が、とれないはずの 3 項目をあえて試験範囲にしたのだ。
(なお、京都大学も同様の措置をとり、私のもとには北海道大学もそのような方向で考えていると言う情報が入っている。他大学も同様なことを行うことは今後十分にありうることである。)
　このようにしたことついて、東大にはもちろんもっともな理由はあることだろう。実は、数学 A の 3 分野はもともと東大がよく出題していたものである。これまでは、「整数の性質」という項目はなかったので、黙って整数問題を出していた感ががあるが、仮に、新課程入試おいて、東大が数学 A の中から
　「場合の数と確率」「図形の性質」
を選択すると言ったならば、わざわざ「整数の性質」を切ったことになるから、「整数の性質は出題されませんよ」というメッセージを与えかねない。したがって、従来の整数問題は出しにくくなるので, 数学 A の 3 分野すべてを出題範囲に入れておくのだと思う。

　このようなことになって、中高一貫校のような時間に余裕のある一部の高校は別にして、ほとんどの高校にとっては「一大事」である。この時期、高校は来年度の配当時間を所定の役所に提出しており、今更数学 A を 3 単位に変えられない。また、再来年度以降も時間を確保できるとは限らない。つまり、もしも他大学も東大にならうとすれば、高校の授業をすべて受けても大学入試の試験範囲はカバーできないという事態になる。妥協策としては、

・とりあえず、数学 A を週 2 時間で授業をし、「夏休み」、「冬休み」などに補習を入れて残り 1 項目を学習する
・「データの分析」の時間を減らし、数学 A の残り 1 項目にあてる

などが考えられる。なお、後で説明するが、「データの分析」は高 1 で学習するより, むしろ高 3 で扱う方が入試対策としては適している。

　私は次のように考える。

　本来、数学 I はすべての高校生が通過する分野であるのだから、その後で学習する分野(数学 II, III の内容など) に役立つものを学習するべきである。例えば、「数と式」は, その後で数学 II, 数学 III を学習するときに必要な知識・考え方であるから、必修科目である「数学 I 」の中に入れるべきである。同様に、「図形と計量」(三角比)　と「二次関数」も必修科目である「数学 I」に入れるべきである。しかしながら、「データの分析」はどうであろうか? 実は、「データの分析」で得た知識は、数学 B の中の「確率分布と統計的な推測」で使われる程度であり、数学 B でこの分野を選択しなければ、孤立した分野になってしまう 。ところが, 数学 III の
　「極限」を学習するには数学 B の「数列」を学習することが望ましい
　「複素数平面」を学習するには数学 B の「ベクトル」を学習することは望ましい
わけだから、ほとんどの高校は、数学 B では「数列」と「ベクトル」を学習することにならざるを得ない。したがって、数学 I で「データの分析」を学習したところでそれはあとにつながらない分野であり、孤立した分野なのだ。
こう考えると、「データの分析」高校 1 年生で習ってもそれ以降使わないから大学入試までには忘れてしまいがちなので、高校 3 年生のときにちょっとだけ時間をとるのもよいかもしれない。それがシステムとして可能な高校ならばであるが。

　結局、東大の気持ちを代弁すると次のようなものではないのだろうか。

「『データの分析』はむしろ数学 A の選択項目として、新課程の数学 A の 3 項目のどれか一つを数学 I の中に入れてほしい」

今回の東大の文科省カリキュラムに反した決断には私は敬意を表する。(不良品に対する断固とした態度をとったということで)

　実は、私の聞くところでは(不確かな情報であることを断っておく)、このようなカリキュラムを決める場には、
「実績のある数学者」とその方よりも「やや(?)力の劣るお弟子さん達」(実動部隊) と(出版社上がり(?)の人を含む)「役人」
がいるとのこと。時期大阪市長の橋下氏が「市役所の職員が政治をしすぎる」と言うように、「役人がカリキュラムに口を出しすぎる」とよいことはない。
中には、「私が『行列』をなくしたんです」というように力を誇示する役人もいる。やはり、国の将来を決めるカリキュラムはベストメンバーで考えてもらいたいと思う。

　毎年この時期になると予備校の通常期の授業が終了する。もちろん、受験生はここで勉強をやめるわけではなく、授業の形態を「通常授業」から「講習」に変えて続けるのである。とは言うものの、一応、通常期の授業が終わるわけだから一区切りがつくことには変わりはない。したがって、とりあえず 4 月からの先生と生徒の関係になった人たちにはお別れの言葉を述べて授業を締めくくることもある。そのようなときに話す内容の 1 つを書いてみようと思う。それは「大人と子供の違い」についてである。なお、大人と言えば、日本の法律上の定義は20歳からであるが、予備校の高卒生の場合はほとんどはこの段階では 19 歳以上で、来年は 20 歳になるか、すでになっている人達である。18 歳の高校生に対しても、遠くないうちに 20 歳になるのだから関係なくはない。

　人の考え方は、幼少のときは、特に親の考え方などその人が置かれた環境に大きく左右される。例えば、ある小学生が路上にゴミをポイと捨てたとする。このような場合、悪いのは 100% 小学生であると言えるだろうか? 私は、小学生が全く悪くないとまでは言わないが 100% ではないと思う。それは、親が普段からそのようなことを平気でしていてそのようなことをしてもかまわないと子供に教えている可能性もあるからだ。また、言葉使いが悪い中学生、電車の中で周りの迷惑を考えずに騒ぐ高校生に対しても、このことが悪いことであっても、それが 100% 中学生、高校生の責任かというとそうではないと考える。なぜなら、このような人をとりまく環境 (親、友達など) が、そのようなことをすることは別に悪くはないと考え、そのような中でこれまで育って来たことも考えられるからである。
　例えば、今、あなたのまわりの人が全員、路上に紙くずを投げ捨てるような人であったとしよう。そのような中で育ってきて、それが普通の世界にいるあなたにとっては、路上にゴミを投げ捨てることがよくないことだと気がつくのは難しいのではないだろうか。もちろん、だからといってゴミをポイっとするのがよいことだと言うつもりはない。
　さて、本題の「大人と子供の違い」であるが、子供の場合、ゴミポイが 100% が子供の責任でない(育って来た環境を考慮しなければならない)のに対し、「大人」となったあとは、いくら育って来た環境が不幸であったからと言っても、社会常識からそれは悪いことであるということに気がつかなければならないだと考える。つまり、自分の親の教育のせいにしたり、自分のつらい過去を理由にしてはいけないというのが(大人と子供の)違いであると考える。社会的に見て迷惑なこと、悪いことをした場合に、もちろん育って来た環境のせいでそのようなことをしてしまうことはあるかも知れないが、「悪いことだということにそろそろ自分で気がつかなければならない」というのが「大人」である。
　例えば、電車に乗るときに割りこむことは、たとえあなたの両親がそのようなことをしていて小さいときからそうするように育てられたとしても、「大人」になったら親のせいにはできないのである。そう、大人になれば、今度は悪いのは100%あなたのせいである。

　こう考えると、歳をとってもまだまだ「子供」のままの人も多く見かける。私は、希望する人に大学進学の手伝いをするのが役目であって、その後生徒たちがどのような道を歩んだかは原則わからない。わからなくても、生徒達が確実に、私が考える「子供」から「大人」に変化してもらうのを願っている。

11月7日現在

　初稿原稿はすべて完成しました。ただ今、組版中です。
すでに、問題編の組版は終えており、校正者に発注済です。
今後は11月20日ころまでに校正者から戻してもらい、11月中に原稿を完成し印刷に回します。
店頭に並ぶのは12月中旬ころかもしれません。(これは、不確かな情報ではあります。)

10月25日現在の受験数学の理論問題集「図形と式」の進捗です。

・問題編の原稿は入稿済み
・解答編　解答編は
　第 1 章「図形を表す方程式」 19 題　(19/19)
　第 2 章「不等式と図形」10 題　(10/10)
　第 3 章「軌跡」16 題　(16/16)
　第 4 章 「平面ベクトル」28 題　(28/28)
　第 5 章「空間ベクトルと空間図形」 25 題　(15/25)
となっています。( ) 内は解答を書きあげた問題の題数です。
・図形と式・ベクトルクリニック　(質問文2/3完了)

10月20日現在の受験数学の理論問題集「図形と式」の進捗です。

・問題編の原稿は入稿済み
・解答編　解答編は
　第 1 章「図形を表す方程式」 19 題　(19/19)
　第 2 章「不等式と図形」10 題　(10/10)
　第 3 章「軌跡」16 題　(16/16)
　第 4 章 「平面ベクトル」28 題　(28/28)
　第 5 章「空間ベクトルと空間図形」 25 題　(7/25)
となっています。( ) 内は解答を書きあげた問題の題数です。
・図形と式・ベクトルクリニック　(草案段階)

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第7話につきましてはこちらが最新版となります。
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