(1) A, B, C がもらうボールの個数を $x$, $y$, $z$ とおきます。このとき,
　　　$x+y+z=15$, $x\geqq 1$, $y\geqq 2$, $z\geqq 2$
が成り立ちます. これを満たす整数 $x$, $y$, $z$ の組の個数を求めればよいのですが, $x$, $y$, $z$ によって条件が異なるので次のように工夫します。
　まず最初に A に 1 個, B に 2 個, C に 3 個与えておき, 残り 9 個を A, B, C に分配します。残り 9 個の分配の方法は,
　　$x+y+z=9$, $x\geqq 0$, $y\geqq 0$, $z\geqq 0$
満たす $x$, $y$, $z$ の組の個数だけありますが, これは, ○ を 9 個並べそれを 2 つの | で仕切る方法だけありますので,
　　$\displaystyle\frac{(9+2)!}{9!\cdot 2!}=\frac{11\cdot 10}{2\cdot 1}=55$ (通り)
だけあり, これが与えられた条件のもとで 15 個のボールを A, B, C に分配する方法の個数です。
　この解答のように, A, B, C に先に最低限のボールを与えておき, 追加分のボールの個数を数える方法を「先入れ方式」といいます。
　
(2) A, B, C に少なくとも 1 個のボールを与えるので, (1) と同じように「A, B, C に先に 1 個与えて追加分を数える」としてもうまくいきません。具体的には,
　・最初に A, B, C にボールを分配する方法は $10\cdot 9\cdot 8=720$ (通り)
　・次に残り 7 個のボールを 3 人に分配する方法は $3^{7}$ (通り)
したがって,
　　　$720\cdot 3^{7}$ (通り)
とするのは誤りです。これが誤りであることは次のようにも説明できます,
　例えば 10 個のボールを
　　①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥, ⑦. ⑧, ⑨, ⑩
とします。
(例 1) 最初に A, B, C に順に ①, ②, ③ を与えます。
　　A (①　　　), B (②　　　),　C (③　　　)
次に, 残りボールをすべて A に与えると次のようになります。
　　A (①, ④, ⑤, ⑥, ⑦, ⑧, ⑨, ⑩), B (②　　　),　C (③　　　)
(例 2) 最初に A, B, C に順に ④, ②, ③ を与えます。
　　A (④　　　), B (②　　　),　C (③　　　)
次に, 残りボールをすべて A に与えると次のようになります。
　　A (④, ①, ⑤, ⑥, ⑦, ⑧, ⑨, ⑩), B (②　　　),　C (③　　　)
先ほどの $720\cdot 3^{7}$ (通り) は (例 1) と (例 2) を区別して数えた結果ですが, 実際には (例 1) と (例 2) は同じ分け方になります。したがって, この場合は「先入れ方式」は通用しません。
　

分けるものを区別する場合は「先入れ方式」を用いてはならない

長くなったので (2) の解答は明日の記事で扱うことにします。