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高校数学の似て非なる問題に対し深い意識を持とう (3) - 解答編 1 –

(1) A, B, C がもらうボールの個数を \(x\), \(y\), \(z\) とおきます。このとき,
   \(x+y+z=15\), \(x\geqq 1\), \(y\geqq 2\), \(z\geqq 2\)
が成り立ちます. これを満たす整数 \(x\), \(y\), \(z\) の組の個数を求めればよいのですが, \(x\), \(y\), \(z\) によって条件が異なるので次のように工夫します。
 まず最初に A に 1 個, B に 2 個, C に 3 個与えておき, 残り 9 個を A, B, C に分配します。残り 9 個の分配の方法は,
  \(x+y+z=9\), \(x\geqq 0\), \(y\geqq 0\), \(z\geqq 0\)
満たす \(x\), \(y\), \(z\) の組の個数だけありますが, これは, ○ を 9 個並べそれを 2 つの | で仕切る方法だけありますので,
  \(\displaystyle\frac{(9+2)!}{9!\cdot 2!}=\frac{11\cdot 10}{2\cdot 1}=55\) (通り)
だけあり, これが与えられた条件のもとで 15 個のボールを A, B, C に分配する方法の個数です。
 この解答のように, A, B, C に先に最低限のボールを与えておき, 追加分のボールの個数を数える方法を「先入れ方式」といいます。
 
(2) A, B, C に少なくとも 1 個のボールを与えるので, (1) と同じように「A, B, C に先に 1 個与えて追加分を数える」としてもうまくいきません。具体的には,
 ・最初に A, B, C にボールを分配する方法は \(10\cdot 9\cdot 8=720\) (通り)
 ・次に残り 7 個のボールを 3 人に分配する方法は \(3^{7}\) (通り)
したがって,
   \(720\cdot 3^{7}\) (通り)
とするのは誤りです。これが誤りであることは次のようにも説明できます,
 例えば 10 個のボールを
  ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥, ⑦. ⑧, ⑨, ⑩
とします。
(例 1) 最初に A, B, C に順に ①, ②, ③ を与えます。
  A (①   ), B (②   ), C (③   )
次に, 残りボールをすべて A に与えると次のようになります。
  A (①, ④, ⑤, ⑥, ⑦, ⑧, ⑨, ⑩), B (②   ), C (③   )
(例 2) 最初に A, B, C に順に ④, ②, ③ を与えます。
  A (④   ), B (②   ), C (③   )
次に, 残りボールをすべて A に与えると次のようになります。
  A (④, ①, ⑤, ⑥, ⑦, ⑧, ⑨, ⑩), B (②   ), C (③   )
先ほどの \(720\cdot 3^{7}\) (通り) は (例 1) と (例 2) を区別して数えた結果ですが, 実際には (例 1) と (例 2) は同じ分け方になります。したがって, この場合は「先入れ方式」は通用しません。
 

分けるものを区別する場合は「先入れ方式」を用いてはならない


長くなったので (2) の解答は明日の記事で扱うことにします。

This entry was posted on 日曜日, 11月 29th, 2015 at 3:00 PM and is filed under 教育, 数学, 高校数学を考える(受験生向け). You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

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