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高校数学の似て非なる問題に対し深い意識を持とう (2) - 解答編 –

2 次方程式の判別式に関する問題です。判別式を利用して, 2 次方程式が実数解をもつかどうかを判別できるのは, 係数がすべて実数の場合です。問題 1 は係数がすべて実数ですが, 問題 2 には係数が虚数のものがありますから, 判別式を利用して方程式が実数解をもつかどうかの条件は得られません。問題 2 は答が \(k\leqq 3\) とならないように注意してください。

【問題 1 】
 与えられた 2 次方程式の判別式を \(D\) とおくと, 実数解をもつ条件は,
  \(\displaystyle\frac{D}{4}=(2a+1)^{2}-a^{2}\geqq 0\)
   \((3a+1)(a+1)\geqq 0\)
   \(a\leqq -1\) または \(a\geqq -\displaystyle\frac{1}{3}\)

である。
【問題 2 】
 与えられた 2 次方程式は,
  \((x^{2}-4x+k)+(-2x+4)i=0\)
ここで, \(x\) と \(k\) は実数なので,
  \(\left\{ \begin{array}{l} x^{2}-4x+k=0\\
-2x+4=0\\
\end{array}\right.\)

となり, これを解いて, \(x=2\), \(k=4\) を得る。
 よって,
  \(k=4\)

This entry was posted on 金曜日, 11月 27th, 2015 at 3:00 PM and is filed under 教育, 数学, 高校数学を考える(受験生向け). You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

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