数学教育研究所公式サイト

プラスエリートに関する意見・質問

数学の内容に関する意見・質問

プラスエリートI・A

Q1. ～ Q50.

Q51.: p443の整数の割り算と最大公約数の関係について、bが負の整数の場合、条件(0≦r≦b-1)を満たすrが存在しないと思うのですが、その場合は割り算は定義されないということでしょうか？(2021.7.22)
A51.: 申し訳ございません。ここでは、\(b\) は「正の」整数でした。訂正いたします。\(b\lt 0\) の場合は、特別ルールを設けない限り、普通は考えないのが一般的です。
Q52.: p179の正弦定理の問題で正弦の比から辺の比を求めた後、なぜ辺の長さをkを用いて表してからcosCを求めなければならないのでしょうか？辺の比さえわかれば余弦定理を適用できると認識していたのですが答案上では好ましくないでしょうか？余弦定理はあくまで辺の長さと角度の関係だから物理量を経由すべきということでしょうか？(2021.9.7)
A52.: その部分では、辺の長さの「比」が3:5:7 であることがわかったに過ぎないので、実際の辺の長さが 3,5,7 ではないからです。
とは、いうものの、cos C が辺の長さの比で決まりますので、3,5,7 を用いても結果は変わりません。
これは、「3,5,7 のままでよい」という人と「3k,5k,7k と置き換えろ」という人がいて、安全のためにこのような記述になっています。
私が、採点者であれば、3,5,7 のままでも減点をしません。(減点をしそうな人もいるということです。)
Q53.: p. 587 の脚注に「通常は, Z(√-5) などと書く」とありますが、( ) を用いるのは拡大体であって、整数環には [ ] を用いるのが一般的だと思います。(2021.10.19)
A53.: 確かにご指摘の通りです。訂正表を出し、次回の改訂のときに修正します。
Q54.: プラスエリート数1・Aのp.438の注について「互いに素でないとした2数が素数の公約数をもつことから矛盾を指摘…」と部分ですが「素数の公約数をもたないことから矛盾」ではないでしょうか。(2021.10.22)
A54.: 例えば、「aとbが互いに素であることを示したい」としましょう。このとき「aとbが互いに素でないとして矛盾が起こる」ことを示します。その矛盾とは「aとbが互いに素でないとしたので、aとbが素数の公約数をもつことから出発します。そして、aとbが素数の公約数をもてば何らかの矛盾を起こること」を示します。
このようにここで主張していることは、「2数が素数の公約数をもつことから出発して矛盾を指摘」という意味なので、このままでよいです。わかりにくい文章であったかもしれません。
Q55.: p382例題5-38について質問です。漸化式の立て方までは同じだったのですが、私は初項をP1=0として計算しました。結局答えは-3/-3をかけたら同じ式になるので問題は無いと思うのですが、なぜ例題37では初項をP1としたのに解答では初項をP0でとしたのでしょうか？今回は初項をP0としても同じ答えとなりましたが、それは問題設定の数値上の偶然であり、減点対象となりますか？(2021.10.23)
A55.: 初項を \(p_{1}\) とするか \(p_{0}\) とするかは便利だと思う方を使えばよいでしょう。厳格にどのような場合が \(p_{0}\) を使えばよいという基準はありません。\(p_{0}\) を使って同じ答になるのは、ここでは偶然ではありません。最初の状態から 1 回目を出す過程が、1 回目以降から次を出す過程と同じだからです。ただし、数列は \(n\geqq 1\) で定義されると考えるのが慣例(少なくともそうだと思っている人がいる)なので、\(p_{0}\) を使う場合は、\(p_{0}\) を定義してから使うようにしましょう。きちんと定義してから使えば、よほどかわった採点でない限り減点をする理由はありません。
Q56.: 数列をやっている時にふと気になったのですが、数列と関数の違いって変数が自然数か実数かの違いだけですか？(2021.10.29)
A56.: ご指摘のように、数列は、「自然数から実数への写像」(実数列の場合)とみなすこともできます。
Q57.: p408の合同式の定義の下のところの記述で「xとyが正の整数のときは『xとyはmで割った余りが等しい』と考えてよい」とありますが、負の整数のときはダメなのでしょうか？高校数学での整数の除法の一般的な定義を考えると、例えば、-19=11×(-2)+3と書けるので余りは3で合同と考えることはできないのでしょうか？(2021.11.12)
A57.: そのように考えてもかまいませんが、そう考えない人もいるので、多くの人が目にするものにはなるべく共通して理解してもらえるような表現にしています。
除法を一般的なものに広げる場合はご指摘の通りです。
Q58.: P86の問い2-1では、答えは展開せずにy=3(ｘ-4)＾2+2としては間違いなのでしょうか。(2022.1.13)
A58.: 解答の形式に指示がないので、その平方完成のままでも正解です。
Q59.: 初歩的な質問なのですが、記号f（x）の用いられ方が分かりません。P82の13行目ではxに対応する数を記号f（x）であらわすとあり、一方ｐ2で9行目は多項式f（X）とあります。このように、記号f（x）には、関数で対応する値と多項式を表す2つの意味があるのですか。また、ｐ86ページの例ではyはxの関数であることをｙ＝～の式で表していますが、これをｙをｆ（ｘ）にして、（1）ならｙ＝ｘ＾2をｆ（ｘ）＝ｘ＾2としたものと違いはありますか。(2022.1.15)
A59.: \(f(x)\) はここでは \(x\) で表される式を表します。特別に多項式を表すわけではありません。p.2ではその近辺では多項式の話ですので、たまたま \(f(x)\) は多項式になります。p.82 では、\(x\) によって決まる値を意味し、\(x\) に依存していることをはっきり表すためのものです。
\(y=x^{2}\) の場合は、「\(y\) が」\(x\) の関数として \(y=x^{2}\) の形で表されることを表し、\(f(x)=x^{2}\) は関数 \(f\) が \(f(x)=x^{2}\) のように表されることを意味します。
Q60.: P87に「区間x1<=x<=x2で単調増加である関数のグラフは右のように右上がりの曲線になる」とありますが、中学校の比例のグラフなどの直線のグラフも「曲線」に含まれるのですか？(2022.1.19)
A60.: 直線を曲線に含めるかどうかは、いろいろな状況によって異なりますのでその都度考えなければなりません。
指摘の頂いた単調増加である関数のグラフについては、直線を曲線に含めてもかまいません。
Q61.: 487ページの方べきの定理について、なのですが、なぜそのようになるのですか。それともそこは暗記しておくべきですか。(2022.3.14)
A61.: 1.の場合で説明すると、△PAC と △PDB が相似になるからです。相似になる理由は 2 角が等しいからです。
覚えるべきかどうかは質問としては答えにくいものですが、本当は、意識しなくても自然に覚えてしまった方がベストです。ですが、結果は、すぐに使えるように知っておいた方がよいと思います。
Q62.: 節末問題107~109の正答率が6割ほどでした。このような数値計算は毎回どこかで計算ミスをしてしまいます。こういった計算ミスを減らすには何をすれば効果的でしょうか。(2022.3.16)
A62.: 107～109 は、後々必要な力を身に着ける問題ですので大切です。
計算ミスは、最初はどうしても起こってしまいます。理解不足、間違った知識によるものであれば、解答と照らし合わせて確認が必要ですが、ケアレスミスに関するものは、本人が「よくない」と思っていれば少しずつ減っていきます。
普段から検算などしながら注意深く進めればよいと思います。受験学年で、ケアレスミスによる計算ミスが減らないようでしたら、「計算革命」(駿台文庫)も視野に入れてください。
Q63.: p397-p398にかけての「あとは p_0=1, p_(a+b)=0 より, 」の後の p_n の式はどのように導出したのでしょうか？確かに p_0 と p_(a+b) の条件は満たしていますが、恣意的に思えてしまいます。このような立式は普通のことなのですか？また、その前に出てきた漸化式から p_(n+1)-p_n=p_1-p_0 に変形などして p_n を求めることはできませんか？(2022.4.23)
A63.: p.397の下から4行目の式が、数列 \(\{p_{n}\}\) が等差数列であることを表しているので、0番目が1、\(a+b\) 番目が0であることから出てきます。
\(a+b\) 項進めば1小さくなるので公差も \(-\frac{1}{a+b}\) であることはすぐにわかることであると思います。
\(p_{n+1}-p_{n}=p_{1}-p_{0}\) のように変形してももちろんよいですが、大袈裟な感じがします。
Q64.: p295の節末問題506です。先に3つのグループに1人ずつ入れておく大人を選ぶ 4人から3人選んで 4_C_3=4 通り残った大人1人と子供8人を3つのグループに分けて 9_C_3*6_C_3*1=1680 通りとして 4*1680=6720 通り (答) と出したのですが、正解は3360通りとなっています。この考えはどこが間違っていますか？重複しているような数え方を探してみましたが、どうも見つかりません。また、このような振り分け的問題でよく間違えてしまうのですが、何か考え方のコツはありますでしょうか？(2022.5.15)
A64.: 分野はII・B になっていましたが、I・A として回答いたします。
まず、人は区別して数えますので、このような場合には「先入れ方式」はできません。これについては、p.331 を参照してください。
次に、この問題についてですが、大人を \(a,b,c,d\)、子供を \(p,q,r,s,t,u,v,w\) とすると、最初に大人3人を選ぶとき、\(\{a,b,c\}\) と \(\{a,b,d\}\) は異なる選び方になります。しかし、あとから残りを追加して、
[1]　\(\{a,p,q,r\}、\{b,s,t,u\}、\{c,d,v,w\}\)
[2]　\(\{a,p,q,r\}、\{b,s,t,u\}、\{d,c,v,w\}\)
は同じ組になります。このように同じものを別のものとしてカウントするので、実際の場合の数より大きくなります。
分けられるものを区別する場合は、このように先に入れておいて数える方法は、たまたま一致する場合を除き適用できません。
Q65.: p68の（3）の解答では、3つの場合に場合分けしてありますが、なぜ、解答のように場合分けする解法を思いつくのですか。(2022.8.8)
A65.: まず、\(-a\lt x\lt a\) を満たす \(x\) が存在するかどうかで、\(a\leqq 0\) と \(a\gt 0\) に分かれます。
次に、\(a\gt 0\) の場合を \(-a\) が \(-1\) と大きいかどうかで、\(a\gt 1\) か、\(0\lt a\leqq 1\) かに分かれます。
Q66.: P249の例で「k個の整数の積の、最後の数はn-k+1」となる理由がわからないので教えて下さい。自分なりに方程式を作り考えてみました。連続する整数の個数がk個であることがわかっている。連続する整数の個数はn-m+1 なのでmをxとおき、k=n-k+１という方程式を解いて、x=n-k+１となるので、最後の値がm-k+1になったということでしょうか。(2022.10.23)
A66.: お考えになった説明での文字の使い方がよくわからなかったので、普通の説明をします。
1つは、\(n,n-1,n-2,\cdots\) と並ぶのは、初項 \(n\)、公差 \(-1\) の等差数列なので、\(k\) 番目は、等差数列の一般項の式から
　　\(n-(k-1)=n-k+1\)
となります。
これ以外にも、
1番目は \(n\)、2番目には \(n-1\)、3番目には \(n-2\)、\(\cdots\) のようになるので、\(k\) 番目を \(x\) とおくと、\(k+x\) の和は一定でその値は \(n+1\) です。
ですので、\(k+x=n+1\) となることより、\(x=n-k+1\) となります。
Q67.: 378ページの例題5-37では、解答の最後にNが1のときも成り立つことを確認しなくてもよいのですか。(2022.11.12)
A67.: p.381 の下から7行目の「① は \(n\geqq 2\) で成立し」とあるのは、その次の漸化式 (\(p_{n}\) を \(p_{n-1}\) で表したもの) に対してですので、そこから先の式で、\(n=1\) の場合も成り立つことの確認は特に必要はないです。
Q68.: 388ページの例題5-41の漸化式を解く際に、q1=3/4として考えると、1/12×(-1/8)^n-1　＋2/3となったのてすが、これは1/12=-1/8×（-2/3）と見れば、解答に書かれている解と等しくなるので、正解と考えても良いですか。また、答案を書かれた際に、「q0で考えよう」と思った理由があれば教えていただきたいです。長文失礼いたしました。よろしくお願いします。(2022.11.13)
A68.: どちらも正解です。そして、どちらの形が好ましいということもありません。
\(q_{0}\) のように確率の問題は 0 番目を考えると、その確率が 1 あるいは 0 になっているなど、計算しやすいということもあるので、しばしば 0 番目を登場させます。
ただし、これは主観も含まれているので、\(q_{1}\) の方がよいというのであれば、それで通してもかまいません。
Q69.: p422(2)についてですが、解答のa・2a・3a・・・(pー1)a≡1・2・3・・・(pー1)(mod p)が成り立つのが理解出来ませんでした。(2023.1.3)
A69.: 具体的に考えてみましょうか。整数 \(x,y,z\) はどれも 4 の倍数でなく、4 で割った余りは異なるとしましょう。このとき、\(x,y,z\) を 4 で割った余りは、1, 2, 3 のいずれかですが、\(\mod 4\) として \(x\equiv 1, y\equiv 2, z\equiv 3\) かもしれませんし、\(x\equiv 2, y\equiv 3, z\equiv 1\) かもしれません。しかし、この 3 数を 4 で割った余りが 1, 2, 3 の順番を入れ替えたものなので、どう並べても 3 数の積を 4 で割った余りは、
　\(xyz\equiv 1\cdot 2\cdot 3\)
となります。同じように、\(a,2a,3a,\cdots ,(p-1)a\) を \(p\) で割った余りは、\(1,2,3,\cdots ,p-1\) を並べ替えたものですから、どう並べ替えても積を \(p\) で割った余りは同じで、
　　\(a\cdot 2a\cdot 3a\cdots (p-1)a \equiv 1\cdot 2\cdot 3\cdots (p-1) 　\pmod p\)
となります。
Q70.: p60のド・モルガンの法則についてですが、数学的な証明のようなものはあるんでしょうか。例から感覚的には分かるんですけど、少しモヤモヤします。(2023.1.7)
A70.: この段階では、感覚的な納得でもよいとは思いますが、画像（一部、修正しました）を参照してください。
Q71.: P64の「2つの条件p.qに対し、「pが真であるときにqが真」であれば真とする命題をp⇒qと表す」についてですが、条件p.qが真というのはpとqの真理集合をP,QとでもするとPが存在するときにQが存在するというようなことですかね？また、「牛乳1リットルの値段が200円より安い」ならば「牛乳を買う」という命題において前者と後者は命題ですよね？ということは「全てのxに成り立つようなaが存在する」⇒「あるxに成り立つようなaが存在する」というようなp.qが命題である命題などもあるということてすか？(2023.1.9)
A71.: 「\(P\) が存在するときに \(Q\) が存在する」ということではありません。まず、「\(P\) が存在する」についてですが、真理集合自体は、条件であれば、いつでも存在します。例えば、\(x\) を実数として、「条件 \(x^{2}\lt 0\)」の真理集合は「存在しない」のではなくて、「空集合」です。
なお、\(P\) が空集合の場合は、つねに \(p\Rightarrow q\) は成立します。
次に、牛乳の例ですが、そこにある例は例えなので、厳格に数学の場合と比較できるかどうかというのもありますが、「牛乳 1 リットルの値段を \(x\) としたときに、\(x\lt 200\) であれば」ということなので、これは、\(x\) に関する条件です。
例を変えて、\(x\) を実数として、「\(x^{2} \geqq 0\) ならば、\(x^{4}\geqq 0\)」の「\(x^{2}\geqq 0\)」は(真理集合がすべての実数の)条件です。これを「すべての \(x\) について \(x^{2}\geqq 0\)」とすれば命題です。
一般に、\(p\Rightarrow q\) とある場合は、\(p,q\) は条件です。
Q72.: p169問い3-5の(2)がよく分かりませんでした。(2023.1.24)
A72.: プラスエリートの問い解説動画「問い 3-5」を作成しましたので、そちらをご覧ください。
Q73.: 2次関数の最大最小の場合分けについて、２問教えていただきたいことがあります。P.108例題２－５の場合分けで、ａ＝０やａ＝１を(ii)に含めても問題ないでしょうか。また、学校では、ａ＝０やａ＝１を入れ忘れるようであれば(i)(ii)(iii)すべてにイコールを含めて書いても良いと言われたのですが、これも問題ないでしょうか。場合分けのどの区分にイコールを入れた方が良いというような基準がもしもあるようでしたら教えていただけると幸いです。
P.111例題２－６（１）の場合分けについて、問題集などによってはa=1を別にして、３つに場合分けをするものも見かけるのですが、どちらでも構わないのでしょうか。境界の値をどう考えて扱うのが良いか、アドバイスがあればよろしくお願いいたします。(2023.3.6)
A73.: p.108 例題2-5 について、この問題の場合は、\(a=0,1\) を(ii) に含めてもかまいません。この問題のように(i),(ii),(iii) のすべてにイコールが入ってもよい場合もありますが、入れてはいけない場合もあるのでケースバイケースでの判断になります。
p.111 例題2-6(1) について、「最大値を与える \(x\) を求めよ」であれば、\(a=1\) を区別するのですが、「最大値を求めよ」であれば、3つに分けてもよいですし、2つでも構いません。結果が同じになるかどうかで、場合分けをするかどうかを判断します。
Q74.: p145の章末問題8について、zは0≦x≦1のときyの増加関数ですが、このとき0≦y≦3(∵0≦x≦y≦3)であるのにy=0ではなく「y=xのとき最小になる」のはなぜですか？(2023.3.28)
A74.: \(y\) を変化させる段階では、\(x\) を定数と見ているからです。
例えば、\(x=1\) に固定して \(y\) を動かすときは、\(y\) は \(1\leqq y\leqq 3\)
\(x=2\) に固定して \(y\) を動かすときは、\(y\) は \(2\leqq y\leqq 3\)
を動きます。
このように、\(y\) の変化を考えているときは、「\(y\) は固定した \(x\) から 3 までを動く」と考えています。ですから、\(z\) は \(y\) の増加関数なので、\(y\) がとれる最も小さい値である \(x\) で最小になります。
もちろん、その後で、最終的には \(y=0\) をとりますが、そのときは \(x=0\) の場合です。(\(x=1\) のときは \(y=0\) はとれません。)
Q75.: P199 階級値を用いた平均値の求め方についてこの方法で平均値が正しく求められるのは、たまたま〈各階級値が各階級の変量の平均値になっている〉ときに限られるのではないですか？（ここでいう階級値とは、p195で定義されている階級値のことですよね？）(2023.8.3)
A75.: 質問者の質問の意図を正しく捉えていなければすみませんが、p.199 で「階級値」を指しているのは、「60点台」ではなく、「ぴったり60点」の意味で使っています。このような意味では「階級値」という言い方はよくなかったので、この部分の「階級値」は「データ」あるいは「データの数値」に修正します。
階級値を幅のある「60点台」と解釈した場合はご指摘の通りです。
Q76.: Q75の者です。ご回答ありがとうございます。おっしゃる通り、質問の意図が正しく伝わっていない可能性を感じたため、追加で質問させてください。＜質問１＞A75によると「p.199 で「階級値」を指しているのは、「60点台」ではなく、「ぴったり60点」の意味で使っています」「階級値を幅のある「60点台」と解釈した場合はご指摘の通りです。」とありますが、失礼ながら「階級」と「階級値」を混合されていませんか？（もしくは私が混同していると誤解されていませんか？）プラスエリートp195「階級値」の定義において、「60点台」のような幅のあるものだという解釈はできないはずなのですが。＜質問２＞A75で最終的に「この部分の「階級値」は「データ」あるいは「データの数値」に修正します。」とありますが、そうなるとp199の平均値の求め方は、p198(4.1)と全く同じものということになり、わざわざその記述を載せる意図が分かりません。そもそもテストを行って実際の点数データがぴったり全員切りよく（60、60、60、70、70、70、70、80、80、80）になるという例はあまりに不自然です。p199で伝えたかったのは、例えば55点以上65点未満の生徒が実際には「56点、62点、64点」の3人いるとき、仮に全員階級値の「60」だと解釈すれば、多少の誤差は出るけど簡易版の平均値が出せる、という意味ではないですか？回答お待ちしております。(2023.8.7)
A76.: いろいろと失礼しました。
こちらでは、「階級値」を使ったのでは、正確な平均値は求められないだろうと問われていると思いました。(近似はある程度できます。)
そこで、階級内の値をまとめた階級値よりもデータそのものの値を使うと正確な平均が出ることを書きました。
質問1: 階級はいくつかのデータの区分を指し、階級値は分けた階級内でのデータの中央値を指すとして扱っています。なので、階級値は幅のある値ではありません。先の回答では、「階級値」の部分はデータの値に読み替えてほしいという意味でした。
質問2: 例えば、話を簡単にしましょう。テストをして、5 人の点数が 60,60,70,70,70 の場合、
平均値を (60+60+70+70+70)/5 と定義しているのが p.198 の説明
60 の度数が2, 70 の度数が 3 なので、平均値を (60×2+70×3)/5 として求めているのが p.199 の説明です。
わかる人にはこれは同じことで、大差ありませんし、あえて書くほどのことでもないと判断する人もいると思います。
また、テストによっては点数が10点刻みであることもあると思うので、点数がピッタリ 60,70,80 だけというのはそれほど不自然な設定だとは思いません。ただ、ここでは、10点刻みであること、設定が不自然かどうかがここでは問題ではないと思います。
ご指摘のあった、階級値を用いてデータの平均値の近似値を考える考え方は記載しておいた方がよいかもしれません。
Q77.: ｐ６８(3)は私にとってとても難しい問題です。(?)a>1のとき、－a<x<aの範囲にxが－１より小さい値を取りうることがあるということは理解できました。－a<x<aという条件から(?)a≦0のとき、xはaより大きく、-aより小さいという条件を満たすことができないということも理解できました。x≧－1という条件から-aは-1以上(a≦１)ということも理解できました。私がよくわからないのは、(?)0<a≦1のとき、x≧－1を満たしているのなら、問題の解答が求めるaの範囲が0<a≦1ではなく、a≦1になるのかよくわかっていません。問題で問われていることがよくわかっていないという自覚はあります。恥ずかしながら、何がわかっていないのかわかっていない状況です。私が何を理解できていないかご指摘いただけると幸いです。(2024.1.20)
A77.: 問題は、「\(a\leqq 0\) のとき、なぜ『\(-a\lt x\lt a\) ならば \(x\geqq -1\)』は成り立つのか」ということでしょうか。
一般に「\(p(x) \Rightarrow q(x)\)」は、すべての \(x\) について
　・\(p(x)\) を満たすものはすべて \(q(x)\) を満たす
　・\(p(x)\) を満たさないものは \(q(x)\) を満たしても満たさなくてもよい
であるとも考えられます。
たとえば、「関数 \(f(x)\) は、\(x\gt 0\) であれば \(f(x)\gt 0\) を満たす」とあれば、\(x\) が 0 以下のときは \(f(x)\leqq 0\) となることではなく、\(f(x)\) は 0 より大きくても小さくてもかまいません。
この問題の場合、\(a\leqq 0\) の場合は、すべての \(x\) が \(-a\leqq x\leqq a\) を満たしません。このとき、「すべての \(x\) は \(x\geqq -1\) を満たしても満たさなくてもよい」をクリアーしているので、\(-a\lt x\lt a \Rightarrow x\geqq -1\) を満たしていることになります。
また、「\(-a\lt x\lt a \Rightarrow x\geqq -1\)」が成り立たないというのであれば、「\(-a\lt x\lt a\) を満たしているのに \(x\geqq -1\) は満たさない」という \(x\) が一つはなければならないのですが、\(a\leqq 0\) のときはそのような \(x\) は存在しませんので、「\(-a\lt x\lt a \Rightarrow x\geqq -1\)」が成り立たないということはないわけですから、これは成り立つということになります。よって、\(a\leqq 0\) の場合も条件を満たします。
Q78.: 218ページ、補足の内容についての質問です。どう読んでも「なぜ２乗平均か」についての回答が書かれているように思われないのです。分散がその特性上満たされるべき性質を持っていないという理由で、218ページ14行目から絶対値の平均ではダメである説明があります。最後には、３乗平均でも４乗平均でもダメであると補足されています。このような議論の展開からは「だから２乗平均なんだ！」とはならず、納得感が得られません。そもそも、分散が分散たらしめる特徴や性質とは何でしょうか。そして、それを満たすものは２乗平均だけであることが証明されうるのでしょうか。(2024.3.31)
A78.: ご指摘の通り、ここで書かれているのは、「分散をなぜ絶対値の平均にしなかったのか」という話です。そして「2乗の平均ならうまくいく」という話なので、「それ以外にも適切なものがあるかもしれない」ということには触れていません。ということで、見出しがおかしいのは申し訳ございません。
「平均」と呼ばれるものにも、その目的に応じて種類があるように、もしかすると分散にも種類があるかもしれませんが、申し訳ありませんがそこは私の熟知するところではありません。ここでいう分散の特徴とは、平均値からのデータの離れ具合の一つの指標と考えればよいのではないかと思います。
Q79.: P168 例題3-3の解説についてです。(1)の解答の注の部分で提示されているsin(θ+90°)=cosθが成り立つ理由を教えて欲しいです。(2024.4.14)
A79.: いろいろな方法が考えられます。
補角の公式 \(\sin(180^{\circ}-\theta )=\sin\theta\)
余角の公式 \(\sin(90^{\circ}-\theta )=\cos\theta\)
を使う方法を紹介すると、
\(\sin(\theta +90^{\circ})=\sin(180^{\circ}-(\theta +90^{\circ}) )=\sin(90^{\circ}- \theta )=\cos\theta\)
のようになります。
Q80.: 例題3-6 (p179)の解答に関して、「a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC ......(1) が成り立つ. ここでsinA : sinB : sinC = 3 : 5 : 7であるから, (1)は, a=3k, b=5k, c=7k (k=2Rとおいた) と表せる. 」とありますが（丸数字の1を(1)で代用しました）、この部分で「k=2Rとおいた」の部分は誤りであると思います。(1)でk=2Rとおくとa=ksinAですが、sinAの数値は3ではないので、これはa=3kとは表せません。「（k=2Rとおいた）」を削除し、単なる未知定数として扱えば正しい記述になると思います。(2024.4.27)
A80.: ご指摘の通り、確かに \(k=2R\) ではありませんので、この部分は削除し訂正いたします。
Q81.: P269の問5－5について質問です。A,A,B,C,D,Eを円形に並べるとき、例題5－7の別解のように、二つのAをA1,A2と区別して(6-1)!＝120と求め、そこから重複している部分を除くために120を2で割って、60通りと求めることは理解できました。私は最初、この問題を、Aの位置で場合わけして考え、?2つのAが隣り合う場合、?2つのAが隣り合わない場合（Aの間に1つ文字が入る）、(3)二つのAが隣り合わない場合（Aの間に2つ文字が入る,すなわち、AとAが向かい合っている)の3つを考え、それぞれが4!通りであるから、4!＋4!＋4!で72通りだと思っていました。この考え方のどの部分が間違っているのかが理解できていません。この考え方のどの部分が誤っているのでしょうか？(2024.9.18)
A81.: 「AとAが向かい合う場合」に注意が必要です。この場合は、180゜回転して一致する場合があるので、\(4!\) 通りではなく、
\(\displaystyle\frac{4!}{2} =12\) (通り) です。
よって、\(4! +4! + 12=60\) (通り)
となります。

ご質問・ご意見のある方はこちらのページからお願いいたします。

プラスエリートに関する意見・質問

最新記事

Jul.22 2025

Jul.18 2025

Jul.17 2025

Jul.16 2025

Jul.08 2025

Jun.28 2025

Jun.28 2025

Jun.20 2025

Jun.14 2025

May.26 2025

May.20 2025

May.13 2025

May.12 2025

May.09 2025

Apr.29 2025

Apr.15 2025

Apr.02 2025

Mar.31 2025

Mar.28 2025

Mar.27 2025