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計算のエチュードに関する意見・質問

数学の内容に関する意見・質問

計算の基礎・知識編

Q1.: 【ただの感想です】
防衛医大の数学をやる時に計算でどこに注目すると良さそうかわかる所があったりしてかなり心の余裕が出来て良かったです。戦略編出るの楽しみです。また駿台で他の先生方が問題の解説の中でさらっと使うテクニックを予め知識として入れておくことで、逆に本番で真似出来ないような「人間離れした」技なのか使えるようにしておくべき技なのかの目安にもなって良いです。この点をもっと宣伝してもいいと思います。(2019.10.11)
A1.: ご感想をお送りいただき、ありがとうございます。戦略編を準備していますので、そちらもよろしくお願いいたします。
Q2.: 誤植等あった場合どこに掲載されるのでしょうか…？(2019.10.15)
A2.: 訂正一覧は電子書籍版と紙版にわけてまとめてあります。
Q3.: 誤植と思われる箇所を発見し、誤植表にまだ掲載されていなかったので連絡させていただきます。p53(3)の問題で、α=cos2π/11×π+i×sin2π/11となっていますが、正しくは、α=cos2π/11+i×sin2π/11だと思います。戦略編楽しみに待っています。(2019.10.15)
A3.: 誤植のご連絡ありがとうございます。ご指摘の通りですので、訂正一覧に掲載させていただきます。
Q4.: 質問は第１章大問４(1)の解説についてです。p32注欄に「2x+yはX,Yを独立に考えればよい」とあります。独立に考えてよいのであれば、2x+yすなわち3X/2+1Y/2の取りえる値の範囲はX,Yの取りえる値を別々に考えればいいということはわかります。ただ実際にはX=x+y, Y=x-yですから、x,yの値によってX、Yの値は「連動して」決まります。よって、この時点ではまだ「独立に考えればよい」と言い切れないのでは？と思いました。たとえば3X/2+1Y/2はX=3,Y=4で最大値をとりますが、それに対応する実数x,yの組が本当に存在するとは言い切れないかも、と思ったのです。自分なりにもう少し考えてみると、x=(X+Y)/2,y=(X-Y)/2という形を見れば、(X,Y)がどんな実数の組でも、それに対応する実数(x,y)の組が存在していることはわかる、ということなのかな？と思いました。以上に関して質問をまとめると
上記のように、(X,Y)がどんな実数の組でも、それに対応する実数(x,y)の組が存在していると考えた結果、「X,Yを独立に考えてよい」に至る、という流れで合っていますか？合っていても、もっと簡単な考え方がありますか？
もし合っているのであれば、「(X,Y)がどんな実数の組でも、それに対応する実数(x,y)の組が存在している」ことに言及しなくてもいいものでしょうか？(2019.10.15)
A4.: 回答はこちらをご覧ください。
Q5.: 誤植と思われる箇所がありましたので、ご確認よろしくお願いします。81ページの下から9行目の「算方法だけで終える人も少なくなありません。」の部分です。(2019.10.16)
A5.: 誤植のご指摘ありがとうございます。訂正表を更新しました。
Q6.: 計算のエチュード楽しくやらせていただいています。内容面には大変満足しており力がつく日を楽しみにしています。さて、今回お聞きしたいことがひとつありまして、とても細かいところなんですが理系の参考書特に数学に関して、文体は, .で統一するのが主流だと勝手に思っていました。しかし今回のエチュードは句点が, 読点が。になっていました。これは何かしらの意図があるのでしょうか。(2019.10.31)
A6.: 「計算のエチュード」を楽しく取り組んでいただきよかったです。
確かに、以前は、「,」と「.」が主流でしたが、最近は少しずつ「,」と「。」が増えてきています。例えば、東大の入試問題の原文は「。」を使っています。少し柔らかい感じが出るのかもしれません。
「。」で終わると多少不都合なケースも出てくるのですが、こちらで創作する文章にはそうならないように、最新の流れの通り、今後開始されるものについては「。」を使っていこうと考えています。
Q7.: 計算のエチュードで楽しく勉強させていただいています。ひとつ疑問に思ったのですが、テーマエチュード（111)の問題です。p152の解答には「x=1/tとおく」箇所がありますがその後にt=0を代入してf(0)=0を確認しています。t=1/xであるのにt=0は良いのでしょうか。「良い」と言われたらそれで納得できるのですが、何かモヤモヤが残っています。答えていただけると幸いです。(2019.12.29)
A7.: かまいません。\(t\) で表した関数が問題なければかまいません。\(t=0\) の値を元の関数の値域に入れているわけではないので大丈夫です。
他にも\(f(x)=x^4 +4x^2\) において \(x^2=t\) とおいて、\(f(x)=t^2 + 4t (=g(t))\) と表したとします。\(t=-1\) は取りませんが、 \(g(t) > g(-1)\) とするのも構いません。
Q8.: 第2章問題10(3)の解答(pp.111-112) (①，②，③)⇔(②，④，⑤)と同値変形して解答されていると思うのですが、なぜ②を使わずに、①-⑦を作ったのでしょうか？(2020.3.25)
A8.: 　以下は, 問題文の仮定となっている x>0, y>0, z>0 のもとでの同値関係です。
まず, ②-① より ④ が得られるわけですが, ここから,
(① かつ ②) ⇔ (② かつ ④)
ですが, これは同時に
(① かつ ②) ⇔ (① かつ ④)
でもあります。
　このように考えると ② は ①, ④ から得られる式なので,
(① かつ ② かつ ③) ⇔ (① かつ ④ かつ ⑤) ⇔ (① かつ ⑥ かつ ⑦)
にたどり着くことができます。
　ここで, ①, ②, ③ の右辺が異なることから, x, y, z のうち少なくとも 2 つが等しい場合はないことにも注意してください。
　以下は, 解答の通り, ① と⑦ の差を考えます。
(① かつ ② かつ ③) と同値な組のうち, なぜ ①, ⑦ を含むものを選んだのかというと, ①, ⑦ はともに x, y だけからなる式 (z を含まない式) であり, しかも右辺が等しいので, 差をとると右辺が 0 になることを見込んだからです。
Q9.: さて、第1章の4(1)について、質問です。解答のような最大最小を求める考え方の他に、x,y存在条件をグラフ考えたり、式で考えたりすることができると思います。そこで1番最後の考え方をとったとき、答えは一致したのですが、偶然の一致かもしれず、考え方があってるのか自信がありません。というのも、不等式の同値変形はほとんど学んだことがなく、特に以下の解答の最後の部分については、感覚的に考えてみただけだからです。解答の論理の正確さや計算の簡潔さを見ていただければと思います。具体的には、こっちの方が計算楽だよとか、注意点などです。以下がその解答です。なお、計算は、省略させていただきます。
〈解答〉T=2x+y -1≦x+y≦3・・・? -2≦x-y≦4・・・? とおき、求める範囲すなわち、?かつ?を満たすx,yが存在するようなTの範囲を考える。xを固定すると、yの存在条件は、y=T-2xを?と?に代入した T-3≦x≦T+1・・・?‘ かつ-2+T/3≦x≦4+T/3・・・?’ そして、xの固定を解くと、?‘かつ?’を満たすxが存在するのは、T-3≦4+T/3 かつ -2+T/3≦T+1⇔-5/2≦T≦13/2 (2020.5.3)
A9.: 質問が文字化けして読めないのですが、この程度であれば何とか解読します。
結論としてこの解答でもかまいません。
x,y の存在条件を y, x のように一つずつ考えていく方法はよく用いられる方法です。
Q10.: 第1章　大問４（１）について－１≦ｘ＋ｙ≦３・・・A －２≦ｘ－ｙ≦４・・・B A+Bより　－３≦２ｘ≦７・・・C （A＋B＊（－１））／２より　－５／２≦ｙ≦５／２・・・D C+Dより　－１１／２≦２ｘ＋ｙ≦１９／２・・・としてはいけない理由について、教えてほしいです。よろしくお願いします。(2020.5.14)
A10.: 不等式を加えると同値性が失われるからです。必要条件にしかなりません。CとDからA,B に戻れないことから、CかつDがAかつBと異なることもわかります。
Q11.: 誤植と思われる箇所がありましたので、連絡させていただきます。計算のエチュード(紙版)p126のコメント文2行目の「たが、このようなしなけれ」の部分です。ご確認よろしくお願いします。(2020.5.14)
A11.: 失礼しました。誤植です。また、ご報告ありがとうございます。
「このような」ではなく、「このように」です。
Q12.: 計算のエチュード(紙版)の139ページのテーマエチュード(219)の関数の値域を求める問題の解答175ページで、(2)の解答が最大値、最小値を答えておりますが、誤植ではありませんか？ご確認よろしくお願いします。(2020.5.18)
A12.: 申し訳ございません。ご指摘の通りです。誤植なので範囲の形で書く必要があります。書かれている最小値以上、最大値以下が答になります。
Q13.: テーマエチュード208の(3)の定数分離をして解く問題ですが、f(x)＝2k形にしてy＝f(x)のグラフと直線y＝2kの共有点を考えて実数2kの範囲を求め、そのあとに不等式全体を2で割って答えを出すといった解法の何処が数学的に間違えなのか教えて頂けると幸いです(2020.6.10)
A13.: 間違いではないので、正しい答が得られるはずです。
Q14.: 第2章、大問6の?、テーマエチュード(206),?の相反方程式の解法でx＋1/x＝tと置いたとき、どうしてtの定義域を考えなくてはよいのか教えて頂けると幸いです(2020.6.13)
A14.: 関数の値域を求める問題ではないからです。 xが実数に制限されているのであれば、最初に考えておいて余計な解は捨てる手もありますが、そうしなくてもとりあえずtを求めておいてあとでだめなものは捨てることは可能です。
Q15.: 122ページの?のところで不等式の場合はxの3乗ダイナリイコールaの三乗からxダイナリイコールaがいえると書かれていますが、それはどうしてなのか教えて頂けると幸いです(2020.6.27)
A15.: 関数 \(y=x^{3}\) が単調増加であることを認めているからです。
Q16.: テーマエチュードの113の(1)なのですが、x=－1±√4(この√は4重根としてください)と回答してもよいものでしょうか？(2020.7.24)
A16.: 間違いではないので、私は正解にします。ただ、このさじ加減は採点基準や採点者によって異なるので勧めませんという程度です。
Q17.: 第1章大門13(2)の問題で８／5以降のシグマのところだけを無限等比級数とみて公式に当てはめ、最後に8／5と足し合わせることは数学的に正しいのか、教えて頂けると幸いです(2020.8.2)
A17.: 正しいです。問題ありません。
Q18.: 117ぺージの(2),(3)の不等式の<が< =に、>が> =に変わればどのような同値変形が成り立つのか教えて頂けると嬉しいです(2020.9.9)
A18.: p.117 の中段より下にある同値変形で、(2) は \(B\gt 0\) と \(A\lt B^2\) のそれぞれに等号が入ります。
(3) は \(A\gt B^2\) に等号が入ります。
Q19.: 東大文系志望の高3です。他の方の過去の質問で東大文系志望の生徒が戦略編に着手するのはオーバーワークだという回答を見たのですが、計算の基礎・知識編でも同じことが言えるのでしょうか？(2023.1.4)
A19.: 戦略編は、今のところ、主に数学III の難しい計算の解決方法にページの半分程度使っています。
オーバーワークというより、文系の人にとっては範囲外のものが多いということなのです。
それを承知していただければよいのですが、半分くらいは IAIIB の範囲外になることはお伝えしておきます。
一方、「計算の基礎・知識編」では文系の方向けに「数学I, II, A, B 用」があります。数学III までの内容を含む「計算の基礎・知識編」の中から、数学I, II, A, B の内容を抽出し、解答をこの範囲で解決できるように作り変えたものです。
Q20.: テーマエチュード（107）(2)の解答（p148）の考え方の説明で、「分母が定数ではないので、分母が定数になるように、」と書いてある所があるのですが、「分母→分子」とするのが正しいような気がします…！(2023.1.19)
A20.: ご指摘の通りです。「分母が定数」と書かれているところは、「分子が定数」が正しいです。訂正表を更新しておきます。ありがとうございました。
Q21.: 第1章大問4の(2)についてです。最小値を求める時に、領域を図示した上で、v=u^2-2とv=-u+z-1が接する時に最小となるという事で判別式や微分で接点求めて最小値を求めても大丈夫でしょうか？よろしくお願いします。(2023.4.20)
A21.: 大丈夫かどうかという質問に対する回答は、きちんと解けば大丈夫ということになります。単に接するというだけでは不十分で、接点の位置などを確認しなければならないことに注意してください。
Q22.: 第二章の問題12の「この問題で学んでおきたいこと」欄の同値変形、?(√A)>B⇔A≧0∧{B<0∨(B≧0∧A>B^2)}…＊についてです。(p117)(√A)>B⇔(A≧0∧B<0)∨(A>B^2∧B≧0)…☆は正しいでしょうか。この方が＊よりシンプルです。☆は、「＊の右側の()内は，A>0を含んでいて、A=0とすると任意のBに対して偽である」と考え,展開する事で至りました。(2023.10.6)
A22.: (☆)は＊を分配法則を使っただけなので、もちろん正しいです。結果、B の符号で場合分けをしたものなので、そう考えると覚えやすいかもしれませんね。
Q23.: 計算のエチュード、始めたばかりですが、とてもためになっております。ありがとうございます。p.10の大問3の解答に関して質問です。(1)も(2)もtによる置き換えをせずに処理してしまったのですが、問題ないでしょうか。例えば(1)に関してはf(x)=(x^2-2)^2-2と変形し、xは実数全体をとれるとすればx=±√2をとることができ、最小値は-2と出すことができると思うのですが、なにかtと置き換えなければいけない等の決まりはあるのでしょうか。ご返答よろしくお願いします。(2024.4.11)
A23.: 結論から申しますと、置き換えなくても全く問題はありません。
数学の答案は正しく考え、正しい結論を得ることが何よりも優先されます。\(x^{2}=t\) と置き換えるのは、そうするとわかりやすいであろうという配慮からですが、それが不要な人も少なくないでしょう。\(x^{2}=t\) と置き換えることで既知の2次関数の話につながるのですが、それが見えている人には不要です。また、置き換えないでわかる人は、むしろそちら(置き換えないまま)の方がよいと思われます。
Q24.: テーマエチュード101(1)について質問です。高校数学での一般的な議論として連立方程式を解く際の同値変形は意識して学習を進めていくべきでしょうか。自分としては同値を無視して進めていくのがすごく気になってしまうのですが、あまりそれについて解説している本が無くて、自分のやり方が正しいのか眉唾です。。以下自分の解答ですが、何か不備があればご指摘のほどよろしくお願いします。
{2/x＋3/y＝1かつ4/x-1/y＝9
??{4/x＋6/y＝2かつ4/x-1/y＝9
??{y＝-1かつ4/x－1/y＝9
??{y＝－1かつx＝1/2 (2024.7.17)
A24.: 連立方程式を解く際に、新しく得られた条件が元と同値であることを考えることは当然のこと(そうでないと正しいものが得られない)ですが、例えば、「AかつB」を⇔でつないだまま進めるのも不便なので、「しばらくはAだけ取り出して変形していく」のようなことは起こり得て、正しい範囲で書き方は柔軟な方がよいでしょう。
質問者が示された解答のように書くのは問題はありません。
Q25.: 計算の基礎のエチュードの、テーマエチュード(108)(2)について質問です。この問題では、(1+3x+5x^2)^(2/x)=[(1+3x+5x^2)^{1/(3x+5x^2)}]^2(3+5x)と変形してからx→0の極限を取っていますが、これは?lim(x→0)_[(1+3x+5x^2)^{1/(3x+5x^2)}]=e, ?lim(x→0)_e^2(3+5x)=e^6 と二段階で、極限を取ることになっている気がするのですが、良いのでしょうか。(2025.3.27)
A25.: \(x\to a\) のとき、\(f(x)\to\alpha\), \(g(x)\to\beta\) (\(\alpha,\beta\) は有限な値, \(\alpha\gt 0\)) のとき、\(f(x)^{g(x)} \to \alpha^{\beta}\) である事実を用いています。
一部、この事実は「教科書にはないから・・・」との声もありますが、それそのものの説明を求められている問題でない限り、その部分を詳しく解説する必要は通常はないと考えます。

戦略編

Q1.: 東大文系志望の受験学年で実践編の購入を検討しています。文系でも実践編は対応できるものでしょうか？(数?未履修)(2022.11.15)
A1.: 実践編が戦略編のことを指しているとして回答します。
結論を先に言いますと、戦略編は半分が数学IIIに関わる話です。4章構成のうち、第1章は数学IIIの内容が少ないのですが、第2章の評価では、10題の解説用の問題のうち数学IIIを不要とするものは3題です。残りの章も、半分程度が数学IIIの内容になります。
文系の受験生にも必要なことは多くあるのですが、題材がこのような状況であることをご理解いただけたらと思います。
Q2.: 51ページ　テーマエチュードの?についてですがα+β>=0が条件となっていますが等号が成り立つ時、α＝β=0またはα＝－β・・・《2》となりますが問題文章中に『2解が』とあるので《2》は解が一つ　もしくは正と負になるので等号が成り立たないと思ったんです。この時は＝はいらないと思いました(2022.11.17)
A2.: これは、通常行われる解釈、2次方程式の
「2解がともに正」→重解を含む (本来は『2根』というべきものの慣例)
「正の解を2個もつ」→重解を含まない
に基づいています。「2」と書いてあれば、必ず解が異なるわけではないということです。
ですので、\(\alpha =\beta =0\) の場合も考えて等号が入ります。
Q3.: はじめまして、早速ですが戦略編について質問させてください。表紙に2022年度版とありますが、2022年11月30日現在、新年度版がでる予定ならば購入するのはもう少し待ったほうがよいのでしょうか。お時間あるときに返信いただけたら幸いです。(2022.11.30)
A3.: 購入すべきかどうかの判断は最終的にはご自身で行なってもらいたいのですが、ここでは、判断のために必要な情報をお伝えします。
戦略編は、4章構成になっています。その最後の章が近年の入試問題を扱っています。来年度は、すべての来年度の入試問題を見ることのできる夏以降にこの4章の問題の一部を差し替えるか追加する形で若干の変化を予定しています。予定はしていますが、それほどよい入試問題がなければ現状のままになる可能性もあります。つまり、どれだけ変わるかは来年度の入試問題次第なのですが、大きく変化しても全体の5%以内の変化になる予定です。もしも、来年度の入試で特徴的、画期的な問題がどこかの大学で出題されたならば、すぐに取り込むという考えです。これは、あくまで現段階での予定ですので、その点はご理解ください。
Q4.: はじめまして。計算のエチュードを発売していただきありがとうございます。とても参考になってます。第3章の（4）ですがこの問題だけ、123と異なり、相加相乗平均を使うのが思いつきにくいのですが、どのような思考から相加相乗平均だと気付けるのでしょうか。(2023.1.19)
A4.: まず、質問の内容ですが、第 3 章の「【3-1】」の(4) についてと解釈して回答します。また、「123と異なり」の部分は、「(1),(2),(3) と異なり」と解釈します。もしも解釈が違うようでしたら再び質問してください。
この問題は、\(x^{2}+xy+4y^{2}\) が一定の元で \(xy\) の最大値を問う問題ですが、\(x^{2}+4y^{2}\) の部分に相加平均と相乗平均の関係を用いることで \(xy\) が現れることを詳しく計算する前の段階で見込みます。そして、問われているのが \(xy\) なので、「相加平均と相乗平均の関係を試してみよう」という発想になります。もしも問われていることが、\(x+2y\) の最大値のように、相加平均や相乗平均と遠いものであれば別の方法を考えるところですが、\(x^{2}+4y^{2}, xy\) などがテーマになっているので、この問題は相加平均、相乗平均の方に目を向けようと考えます。
(考えるというだけで、その段階でそれで必ず解けるかどうかの確証があるわけではありません。)
Q5.: 東京大学(理科一類)を志望している現役受験生です。過去問もある程度終わり、この後は特に気になる分野の演習や模試問題集を解こうと考えています。そこで、計算のエチュード戦略編を購入しようかなと思っているのですが、時間が限られている中、お勧めの使い方等ありますでしょうか。(2023.1.28)
A5.: 計算のエチュード「戦略編」は第3章がメインです。できれば、問題を解いて、その後のテーマエチュードも取り組んだ方がよいと思いますが、第3章の最初に提示されている12題の問題を解いてみてください。
それから、第2章も理系にとっては大切なので、時間があれば、是非見てください。
時間がない場合の優先順位はこんな感じです。
Q6.: p150の4行目の丸1式ですが、半角の公式で丸1式＝sin^2(θ＋φ）とした方が個人的にはきれいかなぁと思いましたが、そうしなかったのは清先生としては、何か意図があったのですか？(2023.1.29)
A6.: 質問の趣旨を、式 ① が、\(\frac{1}{2} (1-\cos 2A)\)　\((A=\theta +\varphi )\) となっているところを、さらに計算を進めて、\(\sin^{2} A\) にするとどうか、ということと理解しました。
もちろん、\(\sin^{2} A\) に変形して、取り得る値を調べてもよいと思います。どちらがよいかというと好みもあるかもしれませんが、
A : \(\frac{1}{2} (1-\cos 2A)\) から \(-1\leqq \cos 2A\leqq 1\) の範囲を考えて、「\(\frac{1}{2} (1-x)\)　\((-1\leqq x\leqq 1)\) の値域を調べる」
B: \(\frac{1}{2} (1-\cos 2A)\) を \(\sin^{2} A\) に「変形して」、\(0\leqq \sin^{2} A\leqq 1\) を用いる
ということで、作業量的には「　」の部分は同じくらいかなと思いました。
もしも、式 ① 以前の変形が異なり、直接 \(\sin^{2} A\) が現れるようならば、\(\sin^{2} A\) を利用する方がよいでしょう。
質問の回答としては、「\(\sin^{2} A\) の形に変形しなくてもわかるのでしなかった」ということで、変形がスムーズにできる人にとっては、\(\sin^{2} A\) にした方がよいと思われるかもしれませんし、それはそれでよいと思います。
Q7.: 誤植報告です。戦略編p.107 3行目の最初のx^3はx^2の誤りだと思われます。(2023.2.7)
A7.: ありがとうございます。確かに誤植でした。訂正表を更新しておきます。
Q8.: 40ページにある三角形の面積を求める問題ですが，3点は O, A, B ですので，三角形ABCではなく三角形OABではないでしょうか。問題文（一覧ページを含む）・解説・解答で何か所か同じ間違いをしているかと思います。既に指摘があるようでしたらすみません。(2023.5.1)
A8.: ご指摘の通りです。具体的には
問題文2行目の「ABC の面積」は「OAB の面積」
p.40 (2) のとなりの「三角形 ABC の面積」は「三角形 OAB の面積」
p.42 の4行目の「△ABC」は「三角形 OAB」
です。訂正表に反映させます。ありがとうございました。
Q9.: テーマエチュードの311です。以下の解法で不備はないかご確認お願いしたいです。ざっくりですが、、、anを挟んだ不等式を作ってからnで割る。その後、一番左と一番右の辺では、1/nをSinθに直して、n→∞でθ→0、sinθ/θ→1を用いて求める収束値π??余談ですが、質問をスムーズにできるよう、画像も貼れるようお願いしたいです。ご検討宜しくお願いします。(2023.7.15)
A9.: 次のような解答でもよいかという質問と解釈しました。
与えられた不等式 \(a_{n}\theta_{n} \lt \pi \lt (a_{n} + 1)\theta_{n}\) より,
\[\displaystyle \frac{\pi}{\theta_{n}}− 1 \lt a_{n} \lt \frac{\pi}{\theta_{n}}\ \ \ \ (∵\ \ \theta_{n} \gt 0)\] である。両辺を \(n\) で割ると, \[\displaystyle \frac{1}{n}\left(\frac{\pi}{\theta_{n}}− 1\right)\lt \frac{a_{n}}{n} \lt \frac{1}{n}\cdot \frac{\pi}{\theta_{n}}\]となり, \(\displaystyle \sin\theta_{n} = \frac{1}{n}\) より, \[\displaystyle \pi\cdot\frac{\sin\theta_{n}}{\theta_{n}}− \sin\theta_{n} \lt \frac{a_{n}}{n} \lt \pi\cdot\frac{\sin\theta_{n}}{\theta_{n}}　　\cdots\cdots①\] である。一方, \(\displaystyle 0 \lt \theta_{n} \lt \frac{\pi}{2}\) , \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sin \theta_{n} = \frac{1}{n} = 0\) より, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \theta_{n} = 0\) であるから, \[\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\pi\cdot\frac{\sin\theta_{n}}{\theta_{n}}− \sin \theta_{n}\right)= \pi\cdot 1 − 0 = \pi\\\lim_{n\to\infty} \pi\cdot\frac{\sin\theta_{n}}{\theta_{n}}= \pi\cdot 1 = \pi\]であるから, ① にはさみうちの原理を用いると,
\[\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n} = \pi 　　\cdots\cdots (答)\]である。

この方法で問題はありません。よい方法だと思います。
画像を貼れるようにする件ですが、今後、そのようになるように検討していきます。
Q10.: テーマエチュードの(308)の問題でcosθ>0でないといけないのは分かるのですがcosθ≦1、－1<sinθ<1を考えないのは何故でしょうか。求めた方程式がこれらを満たしてることはcosθ、sinθに求めた値を代入して理解しましたが解答に書く必要はないんですか？(2023.9.2)
A10.: まず、\((\cos\theta)^{2} +(\sin\theta)^{2}=1\) に代入した時点で、\(-1\leqq\cos\theta\leqq 1\)、\(-1\leqq\sin\theta\leqq 1\) を満たしているので、新たに \(\cos\theta\leqq 1\) を考える必要はあります。(考えてもよいですが、すでに成立しているので、新たに絞り込む条件はでてきません。)
また、\(\cos\theta\gt 0\) を考えることで、\(-1\lt\sin\theta\lt 1\) になるので、これも追加で調べる必要はありません。
Q11.: テーマエチュード(209)の解説で、d>1/2を示す際、面積で評価していますが、以下のようにnの最小値から評価する方法を選択しないのは何故でしょうか。また、この方法に欠陥があれば指摘していただきたいです。　　　(短冊の総和)>logn +1/n≧logn+1/2(2023.11.15)
A11.: 最後の不等式は、 \(\displaystyle\frac{1}{n}\leqq\frac{1}{2}\) なので、成立しません。
Q.12: (312)の解答でx=π/4のときも等号が成立していると思います(2024.2.20)
A12.: 貴重なご指摘ありがとうございます。確かに、等号は、\(x=0,\frac{\pi}{2}\) の他に、\(\frac{\pi}{4}\) でも成立します。訂正します。
Q.13: 数３未履修の文系志望です。戦略編を購入しましたが、数３を使用しない場合、先生の回答（A.１）に基づくと、１章は10番以外全部、２章は１,8,10の３問、３章は1～5（2(2)除く）の５問、４章は1～5の５問という理解でよろしいでしょうか。ネタバレにならないよう問題文のみで判断しました。お手数おかけしますが、ご教示いただければ幸いです。(2025.5.6)
A13.: そのとおりですが、4章の5の別解には数学IIIの内容を使うものが入っています。本解にはありませんが。

計算のエチュードに関する数学以外の意見・質問

Q3.: はじめまして，『計算のエチュード』は，広島大学の理系受験生も取り組むべきレベルの参考書でしょうか？(2019.12.20)
A3.: 「計算のエチュード」は通常の学習の流れからは独立しています。普段の学習で得られない演習なので、そういう意味ではどの問題集を終えてからということはないのですが、数学IIIの内容も含まれますので、数学IIIの学習がある程度進んでから始めるとよいでしょう。
Q4.: Q3を発したものです。ご回答ありがとうございます。Q3に関連して，現時点で数3を始めたばかり又はまだ始めていない高2は，いつ頃までに数3を終わらす（一通り全範囲を学習する）のが良いとお考えでしょうか？(2019.12.20)
A4.: いつ頃までというのは、その人によって結構違うと思います。相手次第で期限が変わるので何とも言えません。また、数学3を終えると言っても、表面だけなのか、深く掘り下げるのかによってかなり違ってきます。
Q7.: ツイートなさっているミニエチュードのうち基礎・知識編にないものは戦略編にも掲載されますか？遡るのが面倒なので戦略編でまとめてできるといいなと思っているのですが……(基礎・知識編はもう終わりました) (2020.5.25)
A7.: 大切なものは、数値を変えて掲載する予定です。
Q9.: 先生のご著書である「受験数学の理論11　受験数学と教えられない数学」の目次を見て興味を持ちました。こちらの書籍は戦略編などに組み込まれたり、あるいは別の書籍として復刊したりしますか？中古のものを買うか迷っています。(2021.10.17)
A9.: 「教えられない数学」については、一部内容を変更して復刊する予定ではありますが、今すぐというわけにはいきません。
ですので、発売日は不確定というのが現状です。
Q10.: 戦略編の今の出版状況について教えてもらえますか。(夏ぐらいに出版できそうですか)(2022.4.4)
A10.: 今のところ夏までには出版する予定ではいます。近づきましたら、このサイトからもお知らせする予定です。
Q11.: 阪医志望の一浪で医進館に通ってるんですが、昨年計算革命を書店で見て感動して買って、やりました、良著だ！と思いました。それから計算のエチュードを発見してどちらかを買おうと思っていて、戦略編の方が良いのかな？と思いつつどちらか決めきれません。(2022.11.19)
A11.: 計算のエチュードは、計算革命とは全く目的が異なります。計算革命は、計算方法はわかっているのだけれど、ミスをしてしまったり、計算が遅いという人のためのものです。そして、2次的にスマートな計算方法を扱っています。
これに対して、計算のエチュードは、計算の考え方、正しい知識、計算の運用の仕方・方針の立て方などを扱っています。
この中で、計算の知識に関するものは「計算の基礎・知識編」になります。例えば、分数形の不等式 \(\frac{x+1}{2x-1}\lt x\) を解くときに、ただ単に分母を払ってしまう人はこちらになります。そして、深い計算の知識も扱っています。
一方、戦略編は行き当たりばったりではない評価の方法や、計算の方針の立て方を扱います。また、受験数学の特徴である「必ず解ける問題である」「余分な条件は問題文にはない(一部例外あり)」などを逆手に取った「よみ」を鍛える訓練です。
目的に合わせてお使いください。
Q12.: 基礎知識編と戦略編のどちらをやるか決めるための学力の基準はございますか？(2022.12.9)
A12.: 基礎知識編の方は、一通り軽くおえた程度で理解できます。数学IIIが今、進行中なら、それにあわせて、習ったところから見て、時期に最後までという方法も可能です。
戦略編は、一通りの計算がしっかりやったつもりの人にそれでも不十分な部分を説明したり、また、やることはやったけれど行き詰っている人に計算の進め方を解説しています。
Q13.: 計算革命→知識編→戦略編の順にやるのが理想的ですか？(2023.1.8)
A13.: 計算革命と計算のエチュードは難易度の序列はないので、その順番でもよいし、そうでなくてもかまいません。
計算革命は、計算のスピード、正確性を鍛えるもので、一度開始すると、毎日、5～10 分ほどかかります。
始めるタイミングを見極めてください。1か月ほどで効果がでると思います。
計算のエチュードの計算の基礎・知識編は早くに知っておいた方が、そのあとの傷が少なくなるという意味ではよいと思います。
戦略編は、一通り、学習が終わるころがよいと思います。
Q14.: 数学の解答用紙を問題用紙の背を定規がわりにして縦に分割しているのですが、採点官からしたら「定規を使用したのではないか？」等の不信感を抱くのでしょうか？またこのことによって不利になることはあるのでしょうか？(2023.2.2)
A14.: この質問は、書籍のどの部分を見ての質問ですか?
Q15.: 数学の計算革命を購入し取り組んでいます徐々に普段の演習でも効果を感じています勝手ですが毎日続けたいので倍くらいに増やしたものもぜひ販売して頂きたいと思います(2023.3.17)
A15.: 数学の計算革命をご購入いただきましてありがとうございます。
この本は、駿台文庫から出ていますので、こちらで独自に対応はできませんが、担当者に伝えておきます。
頂いた感想は、こちらとしては嬉しく受け止めております。

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計算のエチュードに関する意見・質問

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